[编程题]树的重心题目描述小简单正在学习离散数学，今天的内容是图论基础，在课上他做了如下两条笔记： 1. 一个大小为 $n$ 的树由 $n$ 个结点与 $n - 1$ 条无向边构成，且满足任意两个结点间*

题目信息

题目类型: 提高级
题目年份: 2019

题目题型: 编程题
关键词: 树的重心

题目题干

树的重心
题目描述

小简单正在学习离散数学，今天的内容是图论基础，在课上他做了如下两条笔记：
1. 一个大小为 $n$ 的树由 $n$ 个结点与 $n - 1$ 条无向边构成，且满足任意两个结点间**有且仅有**一条简单路径。在树中删去一个结点及与它关联的边，树将分裂为若干个子树；而在树中删去一条边（保留关联结点，下同），树将分裂为**恰好**两个子树。
2. 对于一个大小为 $n$ 的树与任意一个树中结点 $c$，称 $c$ 是该树的**重心**当且仅当在树中删去 $c$ 及与它关联的边后，分裂出的所有子树的大小均**不超过** $\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$（其中 $\lfloor x \rfloor$ 是下取整函数）。对于包含至少一个结点的树，它的重心只可能有 1 或 2 个。

课后老师给出了一个大小为 $n$ 的树 $S$，树中结点从 $1 \sim n$ 编号。小简单的课后作业是求出 $S$ 单独删去每条边后，分裂出的两个子树的重心编号和之和。即：

$$
\sum_{(u,v) \in E} \left( \sum_{1 \leq x \leq n \atop 且 x 号点是 S'_u 的重心} x + \sum_{1 \leq y \leq n \atop 且 y 号点是 S'_v 的重心} y \right)
$$

上式中，$E$ 表示树 $S$ 的边集，$(u,v)$ 表示一条连接 $u$ 号点和 $v$ 号点的边。$S'_u$ 与 $S'_v$ 分别表示树 $S$ 删去边 $(u,v)$ 后，$u$ 号点与 $v$ 号点所在的被分裂出的子树。

小简单觉得作业并不简单，只好向你求助，请你教教他。

## 输入格式

**本题包含多组测试数据。**

第一行一个整数 $T$ 表示数据组数。

接下来依次给出每组输入数据，对于每组数据：

第一行一个整数 $n$ 表示树 $S$ 的大小。

接下来 $n − 1$ 行，每行两个以空格分隔的整数 $u_i$，$v_i$，表示树中的一条边 $(u_i,v_i)$。

## 输出格式

共 $T$ 行，每行一个整数，第 $i$ 行的整数表示：第 $i$ 组数据给出的树单独删去每条边后，分裂出的两个子树的重心编号和之和。

## 样例 #1

### 样例输入 #1

```
2
5
1 2
2 3
2 4
3 5
7
1 2
1 3
1 4
3 5
3 6
6 7
```

### 样例输出 #1

```
32
56
```

## 提示

【样例 1 解释】

对于第一组数据：

删去边 $(1,2)$，1 号点所在子树重心编号为 $\{1\}$，2 号点所在子树重心编号为 $\{2,3\}$。

删去边 $(2,3)$，2 号点所在子树重心编号为 $\{2\}$，3 号点所在子树重心编号为 $\{3,5\}$。

删去边 $(2,4)$，2 号点所在子树重心编号为 $\{2,3\}$，4 号点所在子树重心编号为 $\{4\}$。

删去边 $(3,5)$，3 号点所在子树重心编号为 $\{2\}$，5 号点所在子树重心编号为 $\{5\}$。

因此答案为 $1 + 2 + 3 + 2 + 3 + 5 + 2 + 3 + 4 + 2 + 5 = 32$。

【数据范围】

| 测试点编号 | $n =$ | 特殊性质 |
| :----------- | :----------- | :----------- |
| $1 \sim 2$ | $7$ | 无 |
| $3 \sim 5$ | $199$ | 无 |
| $6 \sim 8$ | $1999$ | 无 |
| $9 \sim 11$ | $49991$ | A |
| $12 \sim 15$ | $262143$ | B |
| $16$ | $99995$ | 无 |
| $17 \sim 18$ | $199995$ | 无 |
| $19 \sim 20$ | $299995$ | 无 |

表中特殊性质一栏，两个变量的含义为存在一个 $1 \sim n$ 的排列 $p_i (1 \leq i \leq n)$，使得：
- A：树的形态是一条链。即 $\forall 1 \leq i \lt n$，存在一条边 $(p_i, p_{i + 1})$。
- B：树的形态是一个完美二叉树。即 $\forall 1 \leq i \leq \frac{n-1}{2}$ ，存在两条边 $(p_i, p_{2i})$ 与 $(p_i, p_{2i+1})$。

对于所有测试点：$1 \leq T \leq 5 , 1 \leq u_i,v_i \leq n$。保证给出的图是一个树。

答案解析

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